Physik

Kräfte sind Vektoren 1
2 Physikalische Beispiele 11
Im folgenden wird ständig die Trigonometrie verwendet. Daher eignen sich viele Aufgaben auch als Übungsaufgaben 1. Kräfte sind Vektoren
1.1 Überlagerung zweier gleich großer Kräfte
Diese Überschrift besagt, daß man mit Kräften rechnen kann und dabei die Regeln der Vektorrechnung zu beachten hat. WISSEN: Kräfte werden sowohl durch ihren Betrag, als auch Diese Doppeleigenschaft hat zur Folge, daß man die Überlagerung zweier (bzw. mehrerer) Kräfte nach den Regeln der Vektoraddition durchführen kann. Die Maßeinheit für Kräfte ist in der Regel „Newton“ (N) . Schreibt man also F = 6 N , dann ist dies lediglich die Angabe des Betrages der Kraft, oder der Stärke der Kraft. Um die Vektoreigenschaft einer Kraft zu erkennen, lassen wir an einem punktförmigen
Körper zwei Kräfte der Stärke 6 N angreifen. Nur der ahnungslose Laie wird dann
meinen, daß insgesamt 12 N auf den Körper wirken. Man nennt die insgesamt
wirkende Kraft die resultierende Kraft , und deren Richtung und Betrag hängt davon
ab, in welche Richtung die beiden Einzelkräfte wirken, und welchen Winkel sie
zueinander bilden. Sehen wir uns einige Beispiele an.
F und F (die Pfeile sollen andeuten, daß jetzt auch die Richtung der Kraft beachtet wird, nicht nur ihre Stärke) sollen in dieselbe Richtung zeigen: Als Maßstab wurde für 1 N 1 cm verwendet. Die resultierende Kraft F zeigt in dieselbe Richtung wie F und F , ihr Betrag ist daher 12 N. (Nur in diesem Fall kann man die Beträge addieren: 6 N + 6 N = 12 N ). F und F die entgegengesetzte Richtung haben: Dadurch heben sich ihre Wirkungen auf, und auf die Masse m wirkt letztendlich keine Kraft mehr. Die resultierende Kraft hat den Betrag 0. Trotzdem schreibt man vektoriell: F = F + F ! Quadrat wird. Die resultierende Kraft ist Nun lassen wir die beiden Kräfte mit 120O einwirken: Damit entsteht ein Parallelogramm, das durch die Diagonale FR in zwei gleichseitige Dreiecke zerlegt wird, d.h. FR hat denselben Betrag wie F und F . α = 100 zwischen F und F und F = F = 6 N Die Berechnung der resultierenden Kraft sieht dann so aus: Weil F1 = F2 liegt eine Raute vor. Die beiden Diagonalen zerlegen diese Raute in vier rechtwinklige Dreiecke. Im Dreieck ABC gilt: ⇒ F = 2F ⋅ cos = 12 N ⋅ cos50 = 7,71N 1.2 Zerlegung in zwei gleich große Kräfte
Beispiel 1:
Zwei gleich große Kräfte greifen unter einem Winkel von 140O an einem Massenpunkt an. Ihre resultierende Kraftwirkung hat die Stärke 50 N. Wir groß sind die beiden ursprünglichen Kräfte ? Wir wollen die Lösung zuerst graphisch durchführen. Dazu konstruiert man eine Raute und macht die Diagonale 5 cm lang ( 1cm  10 N ): Zeichne zwei Halbgeraden, die einen Winkel von 140O einschließen und deren Winkelhalbierende (rot). Diese soll zur Diagonalen der Länge 5 cm werden. Also zeichnet man durch den Punkt D die Parallelen zu den Halbgeraden. Diese schneiden die beiden Halbgeraden in B und C. Der hier daneben gezeichnete Pfeil AB stellt die Kraft F dar. Man zeichnet nun die zweite Diagonale BC ein, so daß man das rechtwinklige Teildreieck ABE erhält. Darin kann man F1 so berechnen: Beispiel 2:
Zwei gleich große Kräfte greifen der Stärke 40 N greifen an einem Massenpunkt an. Ihre resultierende Kraftwirkung hat die Stärke 50 N. Berechne den Winkel zwischen den beiden ursprünglichen Kräften. Wir wollen die Lösung zuerst graphisch durchführen. Dazu beginnt man Mit den beiden Diagonalen. Die Vertikale AD (Resultierende) machen wir 5 cm lang ( 1cm  10 N ), diese wird halbiert (E) und dazu zeichnen wir die Mittelsenkrechte ein. Nun zeichnet man den Kreis um A mit Radius 4 cm (40 N) . Dieser schneidet die gestrichelte horizontale Mittelsenkrechte in B und C. Damit hat man Die Rechnung läuft wie gehabt im rechtwinkligen Teildreieck ABE: 1.3 Überlagerung verschieden großer Kräfte
Rechtwinklige Überlagerung
= F + F ⇒ F = F + F = 9 N + 25 N = 34 N ≈ 5,83 N Den Winkel α zur Angabe, in welche Richtung (gemessen von F aus) die resultierende Kraft F wirkt, berechnet man am besten aus den beiden gegebenen Größen F1 und F2 . Dann benötigt man die Tangensfunktion: Nichtrechtwinklige Überlagerung
Satz des Pythagoras nicht mehr verwendet werden. Dafür nimmt man seine Verallgemeinerung für das beliebige Dreieck, also den Kosinussatz. Er gestattet die Berechnung einer Seite, wenn man die beiden anderen kennt und den von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel. Hier kennen wir F1 und F2 . Beide Größen kommen als Strecken im Kräfteparallelogramm zweimal vor. β = 180 − γ = 60 berechnen. Damit lautet der Kosinussatz im Man sieht deutlich, daß diese Formel wie der Satz des Pythagoras beginnt, aber ein Korrekturglied mit dem doppelten Produkt und dem Kosinus hat, welches ausgleicht, daß der Winkel nun doch nicht 90O hat. F = 9 N + 25 N − 30 N ⋅ cos 60 = 19 N ≈ 4,36 N Nun fehlt zur vollständigen Angabe der Winkel, den F mit F (oder Wir haben also schon wieder eine geometrische Aufgabe vor uns. Kennt man in einem Dreieck zwei Seiten und den Gegenwinkel einer dieser Seiten, dann hilft uns der Sinussatz weiter. Er heißt hier so: Die Kräfte F , F und F schließen die Winkel 50O und 100O ein und haben die Beträge 4 N, 6 N und 8 N. Berechne die Resultierende. Zunächst sei die Konstruktion erklärt: Konstruiere aus F und F das Parallelogramm ABCE. Die Diagonale AE zeigt dann Konstruiere aus F und F das Parallelogramm AEDS. Die Diagonale AS zeigt dann die Resultierende Kraft F = F + F = F + F + F an. schwerer. Wir müssen eine Reihe von Winkeln berechnen um weiter zu kommen. Zuerst rechnen wir mit dem Sinussatz im Dreieck ABE den Teilwinkel α aus: Damit erhält man den zweiten Teilwinkel: Nun wechseln wir ins Parallelogramm AESD über. Dieses hat an der Ecke A den δ = β + α = 119,7 . Damit erhält man an der Ecke E den für die weitere Berechnung der resultierenden Kraft FR , d.h. der Strecke AS im Dreieck AES:
Wir kennen die Strecken AE (  F4) und ES (  F3) und den eingeschlossenen Winkel δ , also liefert der Kosinussatz dessen Gegenseite AS (  F Nun noch die Richtung von F . Dazu kann man beispielsweise den Winkel ε bei S berechnen. Der liegt auch zwischen F und F bei A. 1.4 Zerlegung in vorgegebene Richtungen
Diese Kraft soll in zwei sich überlagernde Komponenten zerlegt werden, die Zuerst die konstruktive Lösung. Man zeichnet einen Vektorpfeil von F z.B. mit der Länge 5 cm (d.h. Maßstab: 1 N  1 cm) und zeichnet dann 2 Halbgeraden Durch die Spitze von F zeichnet man dann die Parallelen zu diesen Halbgeraden. So erhält man das gesuchte Kräfteparallelogramm. Die beiden gesuchten Kräfte wurden mit Strichpunkten daneben gezeichnet. Zunächst berechnet man den dritten Winkel im Dreieck ABC: Nun kennen wir im Dreieck ABC zwei Winkel und eine Gegenseite, also kann man jede andere Seite mit dem Sinussatz berechnen: Berechnung der Seite AB.
Dazu braucht man den Gegenwinkel β und das Gegenpaar AC (FR ) und γ : Berechnung der Seite BC.
Dazu braucht man den Gegenwinkel α und das Gegenpaar AC (FR ) und γ : 1.5 Zerlegung in vorgegebene Komponenten
Diese Kraft soll in zwei sich überlagernde Komponenten F1 = 4,4 N und F2 = 5,4 N zerlegt werden. Welche Winkel bilden diese Kräfte mit FR ? Dies ist dasselbe Beispiel wie auf der Seite zuvor, nur sollen jetzt die Winkel berechnet werden. Dies ist wieder ein Fall für den Kosinussatz, denn wir kennen jetzt im Teildreieck ABC alle drei Seiten: Da wir α suchen, verwenden wir diese Formel: α = 70 . Doch die Werte für F1 und F2 sind gerundet, und so haben wir auch hier diese kleine Abweichung. Den Winkel β rechnet man nun mit dem Sinussatz aus, dies geht schneller als mit dem Kosinussatz: Damit sind die gesuchten Winkel gefunden. 2. Physikalische Beispiele
2.1 Die schiefe Ebene
Auf einen Körper, der auf einer schiefen Ebene liegt (in Ruhe) oder in Bewegung ist, wirkt in der Regel nur die Erdanziehungskraft, die Gravitationskraft, die sich uns als Gewichtskraft G (oder auch F ) äußert. Doch diese Kraft könnte nur dann in „ihrer“ Richtung wirken, wenn darunter keine Unterlage wäre. Die schiefe Ebene verhindert dies und sorgt dafür, daß sich zwei andere Wirkungen herausbilden. Zum einen ist eine Abwärtsbewegung möglich, zum anderen wird der Körper gegen die Unterlage gedrückt. Um die Größe dieser beiden Kraftwirkungen, die beide von der Gewichtskraft ausgehen, zu berechnen, zerlegt man die Gewichtskraft wie gezeigt in zwei Komponenten. Die erste Komponente H heißt Hangabtriebskraft. Sie verursacht einen Bewegung
abwärts (falls die bremsende Reibungskraft dies zuläßt).
Die zweite Komponente N heißt Normalkraft. (Dieser Begriff kommt aus der
Mathematik, wo „normal“ auch „senkrecht“ bedeuten kann). Die Normalkraft drückt den
Körper senkrecht gegen die Unterlage, was die Reibung verursacht.
Der Neigungswinkel α der Ebene tritt bei der Zerlegung noch einmal auf. Das Kräfteparallelogramm wird zum Rechteck, so daß wir mit der Trigonometrie diese Formeln erhalten: Hangabtriebskraft:
Normalkraft:
2.2 Lampenprobleme: Ausleger und Seilaufhängung
Um eine Lampe an einer Hauswand aufzuhängen kann man sich eines sogenannten Auslegers bedienen. Diese sind auf mehrere Arten denkbar. Zwei sollen vorgestellt werden: Der Typ 1 (links) benötigt eine horizontale Stange und ein Seil, das von schräg oben her den Zug abfängt und auf die Hauswand Wenden wir uns ausführlicher dem 1. Typ zu und zeichnen Kräfte ein:
Die Gewichtskraft wirkt über zwei Komponenten: F ist eine Zugkraft, die über das Seil
F ist eine Druckkraft, die über die
Wenden wir uns nun dem 2. Typ zu und zeichnen Kräfte ein:
Die Gewichtskraft wirkt sich nun völlig anders aus. schräge Stange auf die Hauswand übertragen wird Früher hat man Straßenlaternen mit zwei Seilen an zwei Häusern aufgehängt: Wir wollen nun untersuchen, wie stark sich das Lampengewicht auf die Seile auswirkt, und wie dies von der Durchhängung der Lampe abhängt. Die Gewichtskraft der Lampe kommt nicht zur Auswirkung, weil die Seile eine gleich große Gegenkraft F erzeugen. Dies geschieht über die beiden Komponenten F und F . Aus Symmetriegründen sind beide Seilkräfte gleich große (wir wollen dies so haben! ) und daher ist das Kräfteparallelogramm eine Raute, das durch die beiden Diagonalen in 4 gleich kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird. Beginnen wir zuerst mit der Berechnung des Winkels α und weil F als Gegenkraft zu G gleich groß ist (und meistens eben G gegeben ist): 2.3 Das schwingende Fadenpendel
Eine punktförmige Masse hänge an einer masselosen Schnur (dies alles ist nötig, um mit unseren idealisierten Physikformeln rechnen zu können!) und wird um einen bestimmten Winkel ausgelenkt. Läßt man es los, schwingt es zurück bis zum Tiefpunkt und lenkt dann nach der anderen Seite aus. In jeder Phase dieser Schwingung ist die Gewichtskraft für zweierlei verantwortlich: Zum einen spannt es die Schnur (das tut beschleunigt und aufwärts gebremst wird. Diese Kraft heißt Rückstellkraft oder auch wird das Kräfteparallelogramm zum Rechteck und es liegen zwei rechtwinklige Dreiecke vor. Daher können wir einfache Trigonometrie anwenden: Seilkraft:
Rückstellkraft:
Kreispendel
verschiedene Betrachtungsweisen gibt,
wenn man ein im Kreis schwingendes
1. Überlegung:
Wir denken uns in den Massenpunkt hineinversetzt und spüren die Einwirkung zweier Kräfte: Zum einen die nach unten überlagert die Zentrifugalkraft Z , denn wir führen ja eine Kreisbewegung durch. Beide Kräfte überlagern sich zu einer resultierenden Kraftwirkung F . Diese Resultierende wirkt nun als Gesamtkraft auf die kreisende Masse und spannt somit die Schnur. Weil Gewichtskraft und Zentrifugalkraft zueinander senkrecht wirken, wird das Kräfteparallelogramm zum Rechteck mit zwei rechtwinkligen Teildreiecken, so daß wir wieder einfache Trigonometrie anwenden können: Viel interessanter ist hier der Zusammenhang zwischen G und Z : Damit lassen sich nun mehrere Aufgaben berechnen, was hier nicht zum Thema gehört. 2. Überlegung:
kreisende Pendel an und suchen nach Ursachen. Zunächst einmal wirkt, nachdem das Pendel in seiner Kreisbahn angestoßen (Die vorhin zitierte Zentripetalkraft spürt ja nur der Mitfahrer als Ursache der dauernden Richtungsänderung). Also muß die Gewichtskraft (wie bei der schiefen Ebene) Ursache für zwei Wirkungen sein. 1. Wirkung: Wir sehen ein straff gespanntes Seil, also wirkt auf dieses Seil eine 2. Wirkung: Wer die Kreisbewegung gelernt hat, sollte wissen, daß ein Körper genau dann eine Kreisbewegung ausführt, wenn ständig senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung eine konstante Kraft Z wirkt. Sie heißt Radialkraft oder Zentipetalkraft. (Sie ist dem Betrag nach gleich groß wie die für den Mitfahrer spürbare Zentrifugalkraft.) Daraus ergibt sich die in der Abbildung dargestellte Zerlegung der Gewichtskraft. Da wieder zwei rechtwinklige Dreieck vorliegen, können wir so rechnen: Zentripetalkraft:
Seilkraft:
Die verschiedenen Standpunkte des mitfahrenden Beobachters bzw. des außen stehenden Beobachters Kurvenfahrt
Er weiß, daß (abgesehen von einer möglichen Antriebskraft) Die Zentripetalkraft
wirkt senkrecht zur Fahrtrichtung und ist Ursache der Kreisbewegung. Die Normalkraft
drückt das Fahrzeug senkrecht gegen die Fahrbahn und sorgt somit für die notwendige
Reibung, damit die Kurvenfahrt überhaupt möglich wird.
Da die resultierende Gewichtskraft senkrecht zur Zentripetalkraft wirkt, liegen zwei rechtwinklige Dreiecke vor, so daß die Trigonometrie dies liefert: Zentripetalkraft:
Normalkraft:

Source: http://www.physikabitur.info/Mechanik/91011%20Kraefte1.pdf